Analiza matematyczna: funkcje jednej zmiennej
by Tadeusz Krasiński

1. Liczby rzeczywiste i ich podzbiory

• Aksjomatyka liczb rzeczywistych
• Aksjomat ciągłości
• Zasadnicze podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
• Przeliczalność podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych
• Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

2. Funkcje elementarne

• Potęga
  • Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym
  • Potęga o wykładniku wymiernym
  • Potęga o wykładniku rzeczywistym
• Logarytm
• Podstawowe definicje dotyczące funkcji rzeczywistych
• Funkcje potęgowe i pierwiastkowe
• Funkcja wykładnicza
• Funkcja logarytmiczna
• Funkcje trygonometryczne
• Definicja funkcji elementarnych

3. Ciągi liczbowe

• Podstawowe definicje
• Granica ciągu liczbowego
• Działania na ciągach
• Kryteria zbieżności ciągów
• Podciągi i punkty skupienia
• Granice pewnych ciągów liczbowych
• Ciągi Cauchy'ego
• Granice niewłaściwe ciągów
• Granica dolna i górna ciągu
• Liczba e

4. Funkcje ciągłe

• Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłych
• Definicja Heinego funkcji ciągłych
• Działania na funkcjach ciągłych
• Granice funkcji
• Ciągłość i granice jednostronne
• Granice pewnych funkcji
• Ciągłość funkcji elementarnych
• Granice niewłaściwe funkcji
• Własność funkcji ciągłej w przedziale
  • Twierdzenie o osiąganiu kresów
  • Jednostajna ciągłość funkcji
  • Własność Darboux
  • Twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej
• Rodzaje nieciągłości
• Funkcje cyklometryczne

5. Funkcje różniczkowalne

• Pochodna funkcji w punkcie
• Pochodne funkcji elementarnych
• Twierdzenia o wartości średniej
• Ekstrema funkcji
• Wyrażenia nieoznaczone - reguła de l'Hospitala
• Pochodne wyższych rzędów
• Wzór Taylora
• Badanie przebiegu zmienności funkcji
  • II warunek wystarczający istnienia ekstremum
  • Funkcje wypukłe
  • Punkty przegięcia
  • Asymptoty

6. Szeregi liczbowe

• Podstawowe definicje i własności
• Kryteria zbieżności szeregów
• Szeregi bezwzględnie zbieżne
• Mnożenie szeregów

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

• Zbieżność punktowa ciągów i szeregów funkcyjnych
• Jednostajna zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych
• Zbieżność jednostajna a ciągłość
• Szeregi potęgowe
• Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy
  • Funkcja wykładnicza e^x
  • Funkcja logarytmiczna ln x
  • Funkcja potęgowa x^a
  • Funkcje trygonometryczne

8. Całka Riemanna

• Definicja i warunki istnienia całki Riemanna
• Własności całki Riemanna
• Całka jako granica sum Riemanna
• Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
• Całkowanie przez części i przez podstawienie
• Twierdzenia o wartości średniej dla całek
• Zbieżność jednostajna a całkowanie
• Całki niewłaściwe
  • Całki niewłaściwe w przedziale ograniczonym
  • Całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym

9. Całka nieoznaczona

• Definicja całki nieoznaczonej
• Całkowanie przez części i przez podstawienie
• Całkowanie funkcji wymiernych
• Całkowanie funkcji trygonometrycznych
• Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych

10. Uzupełnienia

• Miara Jordana
• Długość krzywej w R^n
• Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji
• Szergi Fouriera