Wstęp do teorii prawdopodobieństwa
by Jacek Jakubowski and Rafał Sztencel

  1. Opis doświadczenia losowego
    • Przykłady. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa
    • Przeliczalny zbiór zdarzeń elementarnych
    • Prawdopodobieństwo geometryczne

  2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
    • Podstawowe schematy kombinatoryczne
    • Typowe błędy

  3. Prawdopodobieństwo warunkowe
    • Definicja i przykłady
    • Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

  4. Niezależność zdarzeń
    • Definicja i przykłady
    • Schemat Bernoulliego
    • Lemat Borela-Cantelliego

  5. Zmienne losowe
    • Definicja; rozkład zmiennej losowej
    • Własności dystrybuanty rozkładu na R
    • Własności dystrybuanty rozkładu na R^n
    • Dystrybuanta a gęstość
    • Gęstość a odwzorowania gładkie
    • Parametry rozkładów
    • Nierówności związane z momentami
    • Niezależne zmienne losowe
    • Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych
    • Przegląd ważniejszych rozkładów

  6. Warunkowa wartość oczekiwana
    • Wprowadzenie
    • Warunkowa wartość oczekiwana względem rozbicia przeliczalnego
    • Definicja ogólna
    • Prawdopodobieństwo warunkowe - uogólnienie
    • Regularne rozkłady warunkowe

  7. Sumy niezależnych zmiennych losowych
    • Wprowadzenie
    • Prawa zero-jedynkowe Kołmogorowa
    • Zbieżność szeregów niezależnych zmiennych losowych
    • Prawa wielkich liczb
    • Twierdzenie Poissona
    • Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a

  8. Zbieżność rozkładów
    • Przykłady i definicja
    • Charakteryzacje słabej zbieżności rozkładów
    • Zbieżność rozkładów a zbieżność dystrybuant

  9. Funkcje charakterystyczne
    • Definicja i przykłady
    • Twierdzenie Levy'ego-Cramera o ciągłości
    • Twierdzenie Bochnera i wzory na odwrócenie
    • Wielowymiarowe funkcje charakterystyczne

  10. Centralne twierdzenie graniczne
    • Wprowadzenie
    • Twierdzenie Lindeberga-Levy'ego

  11. Martyngały
    • Momenty stopu
    • Martyngały, nadmartyngały, podmartyngały
    • Twierdzenie o zbieżności nadmartyngałów
    • Nierówności martyngałowe
    • Zbieżność martyngałów w L^p
    • Twierdzenie Radona-Nikodyma
    • Miary produktowe i zastosowania w statystyce
    • Zastosowania w matematyce finansowej

  12. Łańcuchy Markowa
    • Definicja i przykłady
    • Klasyfikacja stanów
    • Stany chwilowe i powracające
    • Łańcuchy okresowe
    • Rozkłady stacjonarne i twierdzenia ergodyczne
    • Dojście do ustalonego zbioru stanów

  13. Proces Wienera
    • Definicja i konstrukcja
    • Własności trajektorii
    • Zasada odbicia
    • Mocna własność Markowa
    • Konstrukcja procesu Wienera za pomocą układów ortonormalnych

Dodatki

  1. A. Ważne fakty z analizy
    • Pożyteczne nierówności
    • Funkcje gamma i beta
    • Wzór Stirlinga

  2. B. Funkcje tworzące
    • Definicja i podstawowe własności
    • Funkcja tworząca sumy niezależnych składników

  3. C. Teoria miary i całki, przestrzenie L^p
    • Twierdzenie o przedłużaniu miary
    • Całka względem miary probabilistycznej
    • Miara produktowa i twierdzenie Fubiniego
    • Twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych
    • Przestrzenie L^p
    • Przestrzenie Hilberta

  4. D. Funkcje analityczne i metoda residuów
    • Funkcje holomorficzne
    • Twierdzenie Cauchy'ego w zbiorze wypukłym
    • Zera i bieguny
    • Residua

  5. E. Funkcja tworząca momenty (transformata Laplace'a)
    • Definicja i przykłady
    • Transformata Cramera. Oszacowanie szybkości zbieżności w mocnym prawie wielkich liczb

  6. F. Teoria optymalnego stopowania
    • Rozkład Dooba nadmartyngałów
    • Zagadnienie optymalnego stopowania
    • Opcje amerykańskie