Wstęp do teorii prawdopodobieństwa
by Jacek Jakubowski and Rafał Sztencel
- Opis doświadczenia losowego
- Przykłady. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa
- Przeliczalny zbiór zdarzeń elementarnych
- Prawdopodobieństwo geometryczne
- Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
- Podstawowe schematy kombinatoryczne
- Typowe błędy
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- Definicja i przykłady
- Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
- Niezależność zdarzeń
- Definicja i przykłady
- Schemat Bernoulliego
- Lemat Borela-Cantelliego
- Zmienne losowe
- Definicja; rozkład zmiennej losowej
- Własności dystrybuanty rozkładu na R
- Własności dystrybuanty rozkładu na R^n
- Dystrybuanta a gęstość
- Gęstość a odwzorowania gładkie
- Parametry rozkładów
- Nierówności związane z momentami
- Niezależne zmienne losowe
- Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych
- Przegląd ważniejszych rozkładów
- Warunkowa wartość oczekiwana
- Wprowadzenie
- Warunkowa wartość oczekiwana względem rozbicia przeliczalnego
- Definicja ogólna
- Prawdopodobieństwo warunkowe - uogólnienie
- Regularne rozkłady warunkowe
- Sumy niezależnych zmiennych losowych
- Wprowadzenie
- Prawa zero-jedynkowe Kołmogorowa
- Zbieżność szeregów niezależnych zmiennych losowych
- Prawa wielkich liczb
- Twierdzenie Poissona
- Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a
- Zbieżność rozkładów
- Przykłady i definicja
- Charakteryzacje słabej zbieżności rozkładów
- Zbieżność rozkładów a zbieżność dystrybuant
- Funkcje charakterystyczne
- Definicja i przykłady
- Twierdzenie Levy'ego-Cramera o ciągłości
- Twierdzenie Bochnera i wzory na odwrócenie
- Wielowymiarowe funkcje charakterystyczne
- Centralne twierdzenie graniczne
- Wprowadzenie
- Twierdzenie Lindeberga-Levy'ego
- Martyngały
- Momenty stopu
- Martyngały, nadmartyngały, podmartyngały
- Twierdzenie o zbieżności nadmartyngałów
- Nierówności martyngałowe
- Zbieżność martyngałów w L^p
- Twierdzenie Radona-Nikodyma
- Miary produktowe i zastosowania w statystyce
- Zastosowania w matematyce finansowej
- Łańcuchy Markowa
- Definicja i przykłady
- Klasyfikacja stanów
- Stany chwilowe i powracające
- Łańcuchy okresowe
- Rozkłady stacjonarne i twierdzenia ergodyczne
- Dojście do ustalonego zbioru stanów
- Proces Wienera
- Definicja i konstrukcja
- Własności trajektorii
- Zasada odbicia
- Mocna własność Markowa
- Konstrukcja procesu Wienera za pomocą układów ortonormalnych
Dodatki
- A. Ważne fakty z analizy
- Pożyteczne nierówności
- Funkcje gamma i beta
- Wzór Stirlinga
- B. Funkcje tworzące
- Definicja i podstawowe własności
- Funkcja tworząca sumy niezależnych składników
- C. Teoria miary i całki, przestrzenie L^p
- Twierdzenie o przedłużaniu miary
- Całka względem miary probabilistycznej
- Miara produktowa i twierdzenie Fubiniego
- Twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych
- Przestrzenie L^p
- Przestrzenie Hilberta
- D. Funkcje analityczne i metoda residuów
- Funkcje holomorficzne
- Twierdzenie Cauchy'ego w zbiorze wypukłym
- Zera i bieguny
- Residua
- E. Funkcja tworząca momenty (transformata Laplace'a)
- Definicja i przykłady
- Transformata Cramera. Oszacowanie szybkości zbieżności
w mocnym prawie wielkich liczb
- F. Teoria optymalnego stopowania
- Rozkład Dooba nadmartyngałów
- Zagadnienie optymalnego stopowania
- Opcje amerykańskie
