Analiza funkcjonalna: Notatki do wykładu
by Jacek Chmieliński

1. Przestrzenie liniowo-topologiczne

• Podstawowe pojęcia algebry liniowej i topologii
  • Przestrzenie i operatory liniowe
    Przestrzenie liniowe
    Operatory liniowe
    Rozszerzanie funkcjonału
  • Przestrzenie topologiczne i metryczne
    Przestrzenie topologiczne
    Przestrzenie metryczne
• Przestrzenie liniowo-topologiczne
  • Podstawowe definicje i własności
    Interpretacja geometryczna
  • Przestrzenie lokalnie wypukłe
    Oddzielanie zbiorów wypukłych
    Punkty ekstremalne
• Ćwiczenia

2. Przestrzenie Banacha

• Przestrzenie unormowane
  • Podstawowe definicje
    Norma
    Przestrzeń unormowana
    Przestrzeń Banacha
    Równoważność przestrzeni i norm
    Uzupełniające definicje
  • Uzupełnienie przestrzeni unormowanej
• Przykłady przestrzeni unormowanych
  • Nierówności Höldera i Minkowskiego
  • Przestrzenie ciągowe
    Przestrzenie l^p_n i l^p
    Przestrzenie L^oo_n i l^oo
    Przestrzenie c i c_0
    Przestrzeń K^(N)
    Przestrzeń przeliczalnie unormowana s
  • Przestrzenie funkcyjne
    Przestrzenie B(Omega), C(Omega), C^k
    • Twierdzenia o aproksymacji funkcji ciągłych
    Przestrzenie L^p(Omega) i L^oo(Omega)
• Przestrzenie skończenie wymiarowe
  • Zupełność i ośrodkowość przestrzeni skończenie wymiarowych
  • Zwartość w przestrzeni skończenie wymiarowej
• Szeregi w przestrzeni unormowanej
• Baza Schaudera
  • Układy Schaudera i Haara
• Ćwiczenia

3. Przestrzenie Hilberta

• Przestrzenie unitarne
  • Iloczyn skalarny
    Związki iloczynu skalarnego z normą
  • Przestrzeń Hilberta
    Uzupełnienie przestrzeni unitarnej
  • Wyznacznik Grama
• Ortogonalność
  • Układy ortogonalne
  • Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni
• Szeregi Fouriera
  • Rozwinięcie w szereg Fouriera
  • Baza w przestrzeni Hilberta
    Uniwersalność przestrzeni l^2
  • Zastosowania
• Ćwiczenia

4. Operatory liniowe ciągłe

• Podstawowe definicje
  • Operatory ograniczone
  • Norma operatora liniowego ciągłego
• Przestrzenie operatorów liniowych ciągłych
  • Przestrzeń L(X,Y)
  • Przestrzenie sprzężone
    Przestrzeń sprzężona z przestrzenią Hilberta
• Twierdzenia o operatorach liniowych
  • Topologiczne własności operatorów liniowych
  • Zasada jednostajnej ograniczoności
  • Rozszerzanie funkcjonałów liniowych ciągłych
• Operatory sprzężone i pełnociągłe
  • Operatory sprzężone
    Operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta
  • Operatory liniowe pełnociągłe
• Słabe topologie
  • Słaba zbieżność
  • Słaba topologia
  • Przestrzenie refleksywne
  • Słaba zwartość
• Operatory liniowe nieograniczone
• Ćwiczenia

5. Zastosowania odwzorowań liniowych

• Elementy analizy spektralnej
  • Widmo operatora liniowego
    Widmo operatora pełnociągłego
  • Zastosowanie teorii spektralnej - równania całkowe
    Operatory całkowe
    Równania całkowe Fredholma
• Rachunek różniczkowy i całkowy
  • Różniczka operatora
  • Podstawowe twierdzenia dotyczące różniczkowania operatorów
  • Całka Lebesgue's
• Ćwiczenia

A. Twierdzenia o punkcie stałym

• Zasada odwzorowań zwężających
• Twierdzenie Brouwera i Schaudera
• Ćwiczenia

B. Izometrie

• Izometrie w przestrzeniach z normą
• Odwzorowania zachowujące iloczyn skalarny
• Ćwiczenia