Analiza funkcjonalna: Notatki do wykładu
by Jacek Chmieliński
1. Przestrzenie liniowo-topologiczne
- Podstawowe pojęcia algebry liniowej i topologii
- Przestrzenie i operatory liniowe
Przestrzenie liniowe
Operatory liniowe
Rozszerzanie funkcjonału
- Przestrzenie topologiczne i metryczne
Przestrzenie topologiczne
Przestrzenie metryczne
- Przestrzenie liniowo-topologiczne
- Podstawowe definicje i własności
Interpretacja geometryczna
- Przestrzenie lokalnie wypukłe
Oddzielanie zbiorów wypukłych
Punkty ekstremalne
- Ćwiczenia
2. Przestrzenie Banacha
- Przestrzenie unormowane
- Podstawowe definicje
Norma
Przestrzeń unormowana
Przestrzeń Banacha
Równoważność przestrzeni i norm
Uzupełniające definicje
- Uzupełnienie przestrzeni unormowanej
- Przykłady przestrzeni unormowanych
- Nierówności Höldera i Minkowskiego
- Przestrzenie ciągowe
Przestrzenie l^p_n i l^p
Przestrzenie L^oo_n i l^oo
Przestrzenie c i c_0
Przestrzeń K^(N)
Przestrzeń przeliczalnie unormowana s
- Przestrzenie funkcyjne
Przestrzenie B(Omega), C(Omega), C^k
- Twierdzenia o aproksymacji funkcji ciągłych
Przestrzenie L^p(Omega) i L^oo(Omega)
- Przestrzenie skończenie wymiarowe
- Zupełność i ośrodkowość przestrzeni skończenie wymiarowych
- Zwartość w przestrzeni skończenie wymiarowej
- Szeregi w przestrzeni unormowanej
- Baza Schaudera
- Ćwiczenia
3. Przestrzenie Hilberta
- Przestrzenie unitarne
- Iloczyn skalarny
Związki iloczynu skalarnego z normą
- Przestrzeń Hilberta
Uzupełnienie przestrzeni unitarnej
- Wyznacznik Grama
- Ortogonalność
- Układy ortogonalne
- Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni
- Szeregi Fouriera
- Rozwinięcie w szereg Fouriera
- Baza w przestrzeni Hilberta
Uniwersalność przestrzeni l^2
- Zastosowania
- Ćwiczenia
4. Operatory liniowe ciągłe
- Podstawowe definicje
- Operatory ograniczone
- Norma operatora liniowego ciągłego
- Przestrzenie operatorów liniowych ciągłych
- Przestrzeń L(X,Y)
- Przestrzenie sprzężone
Przestrzeń sprzężona z przestrzenią Hilberta
- Twierdzenia o operatorach liniowych
- Topologiczne własności operatorów liniowych
- Zasada jednostajnej ograniczoności
- Rozszerzanie funkcjonałów liniowych ciągłych
- Operatory sprzężone i pełnociągłe
- Operatory sprzężone
Operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta
- Operatory liniowe pełnociągłe
- Słabe topologie
- Słaba zbieżność
- Słaba topologia
- Przestrzenie refleksywne
- Słaba zwartość
- Operatory liniowe nieograniczone
- Ćwiczenia
5. Zastosowania odwzorowań liniowych
- Elementy analizy spektralnej
- Widmo operatora liniowego
Widmo operatora pełnociągłego
- Zastosowanie teorii spektralnej - równania całkowe
Operatory całkowe
Równania całkowe Fredholma
- Rachunek różniczkowy i całkowy
- Różniczka operatora
- Podstawowe twierdzenia dotyczące różniczkowania operatorów
- Całka Lebesgue's
- Ćwiczenia
A. Twierdzenia o punkcie stałym
- Zasada odwzorowań zwężających
- Twierdzenie Brouwera i Schaudera
- Ćwiczenia
B. Izometrie
- Izometrie w przestrzeniach z normą
- Odwzorowania zachowujące iloczyn skalarny
- Ćwiczenia